حل معادلات دیفرانسیل لاگرانژ

هر معادله دیفرانسیل به صورت

یک معادله ی لاگرانژ نامیده می شود.

برای حل معادلات لاگرانژ ، از تغییر متغیر استفاده می کنیم. بنابراین

در حالت خاصی که باشد، معادله ی لاگرانژ به معادله ی کلرو تبدیل می شود.

با فرض اینکه موجود باشد ، از معادله ی نسبت به x مشتق می گیریم :

حالت اول : به ازای مقادیر ِ ثابتی از p ، معادله ی صفر است . مثلا ً اگر ، آنگاه و در این صورت . پس دو طرف تساوی صفر است.

که این معادله ، یک خط راست خواهد بود و جواب غیر عادی معادله ی است زیرا جواب عمومی آن در حالت دوم به دست می آید.

حالت دوم : در این حالت فرض کنیم . بنابراین معادله ی به صورت زیر خواهد شد :

با دقت در معادله ی در می یابیم یک معادله ی خطی است که در آن x تابعی از p است. با حل معادله ی ، تابعی مانند به دست می آید که آن را در معادله ی قرار داده و تابع y را بر حسب x به دست می آوریم. تابع به دست آمده جواب عمومی معادله ی لاگرانژ خواهد بود.

به مثال زیر دقت کنید تا معادله ی لاگرانژ را بهتر درک کنید و عملا ً با چگونگی حل یک معادله ی لاگرانژ آشنا شوید.