موضوع :
پروژه رشته ریاضی تئوری مقدماتی از معادلاتlyapunov
تحویل در محیط : word
|
عنوان سفارش :
پروژه رشته ریاضی تئوری مقدماتی از معادلات lyapunov
تعداد صفحه :
50
قیمت :
54000 تومان
|
به نام خدا
تئوری مقدماتی از معادلات Lyapunov
مقدمه
فرض کنید A و φ ماتریس های n×n حقیقی باشند، معادلات Lyapunov با پیوستگی زمانی نشان داده می شود: AX+XA^T+φ= ∘
معادلات Lyapunov با گسستگی زمانی نشان داده می شود:
AXA^T-A+φ= ∘
جایی که X حل معادله، یک ماتریس n در n است.
حاصلضرب کرونکر: فرض کنید A یک ماتریس m در n حقیقی و B یک ماتریس K در L حقیقی باشد. حاصلضرب کرونکر از A و B یک ماتریس nK در mL است، A⊗B نشان داده می شود : A⊗B=[■(a_11 B …&a_1m B@■(a_21 B@⋮) &a_2m B@a_n1 B…&a_mn B)]
اگر X یک ماتریس n در m حقیقی باشد، پس Vec(X) برداری در Rmn است بطوریکه:
Vec(X)_(i+(j-1)n)=X_ij i=1,…,n j=1,…,m
ضرب کرونکر خصوصیات زیر را نتیجه می دهد.
قضیه 2.2.1) اگر A و B و C و D ماتریس های حقیقی باشند.
به طور کل 〖(A⊗B)〗^T=A^T⊗B^T
اگر ضرب ACو BD تعریف شده باشند، سپس:
(A⊗B)(C⊗D)=AC⊗BD
اگر ضربی ABC تعریف شده باشد، سپس
Vec(ABC)=(A⊗C^T ) Vec(B)
اگر A و B ماتریس های نامنفرد باشند، سپس A⊗B هم ماتریس نامنفرد است و
〖(A⊗B)〗^(-1)=A^(-1)⊗B^(-1)
با کاربرد عمل Vec در معادله ماتریس Lyapunov می بینیم که هم ارز با سیستم خطی استاندارد زیر است:
A ̃x ̃+q ̃= ∘
A ̃=A⊗I+I⊗A^T q ̃= Vecφ
که A ̃ ماتریس n2 در n2 است x ̃= Vec(X)
در این مقاله ما اصولاً علاقه مند در موارد ویژه هستیم که φ است یک ماتریس نیمه معین مثبت متقارن حقیقی با درجه پایین.
جایی که B یک ماتریس حقیقی بلند با تعداد کمی ستونهای وابسته است این مورد ویژه خیلی مهم است در دستور تحویل سیستم های دینامیکی.
تئوری های وجود و یکتایی: فرض کنید A یک ماتریس n×n حقیقی باشد σ(A) زیر-
مجموعه C، مجموعه مقادیر ویژه A باشد ما قضایای زیر را داریم:
قضیه 2.3.1) معادلات Lyapunov با پیوستگی زمانی، یک حل یکتا X دارد برای هر انتخاب از دوره ناهمگن φ اگر و فقط اگر λ+μ≠ ∘ (برای هر μ و λ عضو σ(A) )
برهان) معادله ماتریس Lyapunov هم ارز با سیستم خطی استاندارد است بنابراین کافی است نشان دهیم که ماتریس A ̃=I⊗A+A⊗I نامنفرد است اگر و فقط اگر λ+μ≠ ∘ .
بوسیله لم Schur اینجا وجود دارد یک ماتریس n در n یکتا U که R=U^* AU
که بالامثلثی هستند و درایه های قطری R مقادیر ویژه ی A هستند. حالا، ماتریس
(U⊗U)^* (I⊗A+A⊗I)(U⊗U)=(I⊗U^* AU+U^* AU⊗I)
=(I⊗R+R⊗I)
که آشکارا مشابه با A ̃=I⊗A+A⊗I است.
همچنین بالامثلثی است. ما می بینیم که α یک مقدار ویژه ای از A است اگر و فقط اگر α=λ+μ باشد، این نتیجه می دهد که A ̃ نامنفرد است اگر و فقط اگر λ+μ≠ ∘ باشد.
قضیه 2.3.2) معادله Lyapunov با گسستگی زمان یک حل یکتای X دارد برای هر انتخاب از φ ناهمگن اگر و فقط اگر λμ≠1 ( ∀λ ,μ ∈ σ(A) )
برهان) این برهان هست شبیه برهان قضیه بالا.
2.4 هم ارزی دو کلاس از معادلات Lyapunov
فرض می کنیم A یک ماتریس مربع حقیقی و σ(A) مقادیر ویژه A باشد. فرض می کنیم S معنی بدهد مجموعه ای از ماتریس هایی که داده می شوند بوسیله
A∈S⟺1∉σ(A)
فرض می کنیم A∈(S) پس تبدیل cayley از A هست:
c(A)=(A+I) 〖(A-I)〗^(-1)
این تبدیل ممکن است به عنوان بسطی از توابع مختلط نشان داده شود. φ(z)=(Z+1)/(Z-1)
برای همه z∈c-{1} φ(φ(z) )=z
قضیه 2.4.1) جملات زیر درست هستند.
1) تبدیل cayley، تابع های S یک به یک و به خودش C(C(A) )=A
2) اگر A∈S ، سپس λ∈σ(A) اگر و فقط اگر φ(λ) عضو σ(C(A))
3) A پایدار است اگر و فقط اگر C(A) همگرا باشد.
4) A معین منفی است اگر و فقط اگر ‖C(A) ‖_2<1
قضیه 2.4.2) فرض کنید A∈S ، سپس X حل می شود در معادله Lyapunov زمان پیوسته AX+XA^T+φ= ∘ اگر و فقط اگر X حل شود در معادله Lyapunov زمان گسسته C(A)XC〖(A)〗^T-X+φ_∘= ∘
جایی که φ_∘ داده می شود بوسیله φ_∘=2(A-I)^(-1) φ〖(A-I)〗^(-T)
..................
|