بردارها و اسکالرها

یک ذره که در طول یک خط راست حرکت می کند فقط می تواند در دو جهت حرکت کند. ما می توانیم حرکت آن را در یک جهت مثبت و در جهت دیگر منفی درنظر بگیریم. برای ذراتی که در سه بعد حرکت می کنند، یک علامت منفی و یک علامت مثبت برای تعیین جهت حرکت کافی نیست. بنابراین باید از بردار استفاده کنیم. یک بردار دارای جهت و بزرگی است، و از قواعد خاصی پیروی می کند. یک کمیت برداری، کمیتی است که جهت و بزرگی دارد و بنابراین، می تواند با استفاده از بردار نمایش داده شود. برخی کمیت های برداری در فیزیک عبارت اند از؛ جابه جایی، سرعت و شتاب. همه ی کمیت های فیزیکی شامل جهت نیستند. برای مثال دما، فشار، انرژی، جرم، و زمان از جمله ی این کمیت ها هستند. ما این کمیت ها را اسکالر می نامیم. قواعد حاکم بر این کمیت ها از همان جبر معمولی پیروی می کند. ساده ترین کمیت برداری جابه جایی یا تغییر مکان است. برداری که جابه جایی را نشان می دهد، بردار جابه جایی نامیده می شود. اگر ذره ایاز مکان A به مکان B جابه جا شود (شکل )، بردار جابه جایی آن با یک پیکان که از A به B کشیده شده است نشان داده می شود. در شکل3-1 (a)، سه بردار نشان داده شده از نظر بزرگی و جهت یکسان هستند. بنابراین بردار نشان داده شده نمایشگر تغییر مکان یکسانی برای ذره است. بردار جابه جایی چیزی درباره ی مسیر حرکت به ما نمی گوید. برای مثال شکل3-1 (b) ، مسیر های متفاوتی را نشان می دهد که بردار جابه جایی آن یکی است.

جمع بردارها

فرض کنید که در نمودار برداری شکل 3-2، یک ذره از A به B و سپس ازB به C حرکت می کند. ما می توانیم این جابه جایی را با دو بردار جابه جایی AB و BC نشان دهیم. جابه جایی خالص ناشی از این دو بردار، یک جابه جایی از A به C است. ما AC را بردار حاصل جمع یا بردار برآیند بردارهای AB و BC می نامیم. یک روش برای نشان دادن بردارها، استفاده از حروف و قرار دادن یک پیکان بالای سر آن هاست (شکل3-2 (b)). هنگامی که ما فقط می خواهیم به بزرگی بردارها اشاره کنیم، فقط حروف (بدون پیکان بالای آن ها) را به کار می بریم.,br/>ما می توانیم روابط بین سه بردار شکل 3-2 (b)، را به صورت معادله ی برداری زیر بنویسیم:
شکل 3-2، روش جمع دو بردار را به صورت هندسی پیشنهاد می کند. (1) بردار a را با همان بزرگی و جهت ترسیم کنید. (2) بردار b را به گونه ای که دم آن در راس بردار a باشد رسم کنید. (3) بردار حاصل جمع s برداری است که دم a را به راس b متصل می کند.
جمع بردای شرح داده شده به روش بالا، دو ویژگی مهم دارد. اول اینکه، ترتیب اضافه کردن بردارها اهمیتی ندارد. (شکل3-3). به عبارت دیگر:
دوم اینکه، وقتی بیش از دو بردار وجود داشته باشد، می توانیم به هر ترتیبی آن ها را با هم جمع کنیم.بنابراین برای بردارهای شکل 3-4، در روش اول ما می توانیم ابتدا دو بردار a و b را با هم جمع کنیم و سپس حاصل جمع را با بردار c جمع کنیم. همچنین در روش دوم ما می توانیم ابتدا بردار های b و c را با هم جمع کنیم، سپس حاصل جمع این دو بردار را با بردار a جمع کنیم. با توجه به شکل مشاهده می کنیم که در هر دو روش نتیجه ی یکسانی حاصل می شود:
شکل 3-4، سه بردار نشان داده شده به هر روشی می توانند با هم جمع شوند. به معادله ی 3-3 نگاه کنید.
بردار –b برداری است با بزرگی برابر با بردار b اما در جهت مخالف آن (شکل3-5). با جمع کردن دو بردار نشان داده شده در شکل 3-5، خواهیم داشت:
بنابراین ما می توانیم از این ویژگی برای تعریف تفاضل (تفریق) بردارها استفاده کنیم:
شکل3-6، نمایش هندسی این تفاضل را نشان می دهد. همانند جبر معمولی، ما می توانیم با تغییر علامت بردارها، آن ها را از یک ظرف تساوی به طرف دیگر جابه جا کنیم. برای مثال ما می توانیم معادله ی 3-5 را به صورت زیر بازچینی کنیم:
یادآوری می کنیم که، قواعد جمع و تفاضل بردارها فقط برای بردارهای هم نوع برقرار است. به عبارت دیگر ما می توانیم این قواعد را فقط برای بردارهای هم نوع به کار ببریم. برای مثال، ما می توانیم دو بردار جابه جایی یا دو بردار سرعت را با هم جمع کنیم. اما نمی توانیم یک بردار جابه جایی را با بردار سرعت جمع کنیم.

مولفه های بردارها

جمع بردارها به روش هندسی می تواند خسته کننده باشد. یک روش تمیز و آسانتر شامل جبری وجود دارد، اما در این روش ما نیاز داریم که بردار را در یک دستگاه مختصات راست گوشه قرار دهیم. محورهای x وy همانند شکل 3-7، معمولا در یک صفحه ی کشیده می شود. و محور z از مبدا مستقیم به طرف خارج صفحه قرار می گیرد، و در حالت دو بعدی از آن چشم پوشی می کنیم. یک مولفه از یک بردار، تصویر آن بردار روی یک محور است. برای مثال در شکل3-7، ax مولفه ی بردار a روی (در راستای) محور x و ay مولفه آن روی محور y است.برای پیدا کردن تصویر یک بردار روی یک محور، همانند شکل3-7، ما خطوطی از دو انتهای بردار، روی محور مورد نظر عمود می کنیم. تصویر بردار روی محور x مولفه ی x بردار و تصویر بردارروی محور y مولفه ی y بردار نامیده می شود. این رویه برای پیدا کردن مولفه های یک بردار تجزیه ی بردار نامیده می شود.,
در شکل3- 7 هر دو مولفه ی ax و ay مثبت هستند، چون بردار a در جهت مثبت هر دو محور کشیده شده است، اگر ما a را معکوس کنیم هر دو مولفه ی آن منفی خواهند شد. تجزیه ی بردار b در شکل3-8، مولفه ی bx مثبت و by منفی را نتیجه می دهد. به طور کلی یک بردار سه مولفه دارد، بنابراین در مورد شکل3-7، مولفه ی z بردار صفر درنظر گرفته می شود.
ما می توانیم مولفه های بردار a را به روش هندسی با استفاده از مثلث راست گوشه پیدا کنیم:
در این جا θ زاویه ی بین بردار a و جهت مثبت محور x و a بزرگی بردار a است. از آنجایی که ما می توانی یک بردار را به مولفه هایش تجزیه کنیم، مولفه های آن می توانند به جای آن مورد استفاده قرار قیرد. برای مثال بردار a در شکل3-7 (c)، کاملا توسط a و θ تعیین می شود. و اگر مولفه های یک بردار را داشته باشیم بزرگی a و زاویه ی θ توسط معادلات زیر داده می شود:
شکل 3-7، (a و b) نمایش مولفه های y و x بردار a. و (c) مولفه ها و بردار یک مثلث راست گوشه تشکیل می دهند.

بردارهای یکه

یک بردار یکه برداری است با بزرگی دقیقا برابر با 1 و یک جهت مشخص. همچنین بردار یکه بدون بعد و یکاست. بردارهای یکه در جهت مثبت محورهای x، y و zدر شکل3-9 نشان داده شده است. آرایش محورها در شکل3-9، دستگاه مختصات راستگرد (دست راستی) نامیده می شود. بردارهای یکه، برای بیان بردارها بسیار مفید هستند. برای مثال، ما می توانیم بردارهای a و b در شکل های 3- 10 (a) و 3-10 (b) را به شکل زیر بیان کنیم: